Properties of Harmonic function - Harnack’s inequality

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$\Omega \subset \mathbb R^n$가 domain 이고, 여기에서 정의된 non-negative harmonic funcition $u$ 를 생각하자. 그러면 bounded connected 인 $\Omega$의 임의의 subset $\Omega_0 \subset\subset \Omega$에 대해 다음을 만족하는 적당한 상수 $C$가 존재한다.

$$
\sup_{\Omega_0} u \leq C \inf_{\Omega_0}u
$$

이때 $C$는 $n,\Omega, \Omega_0$에만 의존하고 $u$와는 독립적인 상수이다.

($A \subset \subset B$ 는 $\bar A$가 compact 이면서 $A\subset \bar{A}\subset B$ 가 성립함을 의미한다 )

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-증명

$\Omega_0$가 ball인 경우

점 $y \in \Omega$ 을 고정하고, $R \in (0, \frac 1 4 \inf_{z \in \partial \Omega} |z-y|)$ 을 만족하는 $R$을 생각하자.

그러면 임의의 두 점 $x_1, x_2 \in B_R (y)$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$B_R(y) \subset B_{4R}(y) \subset \Omega$$

$$B_R(x_1) \subset B_{2R}(y) \subset B_{3R}(x_2)$$

이제, 두개의 ball $B_R (x_1)$ 과 $B_{3R}(x_2)$ 에서 mean value property를 적용하면 다음과 같이 두 식을 얻는다.

\begin{align*} u(x_1) \; = \dfrac 1{w_nR^n} \int_{B_{R}(x_1)} u dx &\leq \dfrac 1{w_nR^n} \int_{B_{2R}(y)} u dx\\ u(x_2) = \dfrac 1{w_n (3R)^n} \int_{B_{3R}(x_2)} udx & \geq \dfrac 1{w_n (3R)^n} \int_{B_{2R}(y)} u dx \end{align*}

종합하면, 임의의 두 $x_1, x_2 \in B_R(y)$ 에 대해 다음이 성립함을 알 수 있다.

$$u(x_1) \leq 3^n u(x_2)$$

따라서 다음을 얻는다.

$$\sup_{B_R(y)} u \leq 3^n \inf_{B_R(y) } u$$

일반적인 경우

먼저 $\Omega_0$가 connected open set이므로 path-connected임을 알 수 있다.

따라서, 임의의 두 점 $p_1 , p_2 \in \Omega_0$에 대해 두 점을 잇는 path $\gamma : [0,1] \mapsto \Omega_0$가 존재한다. 그런데 $\gamma$의 image는 open set 인 $\Omega_0$의 subset이므로 적당한 $r(t): [0,1] \rightarrow (0,\infty)$ 가 존재해서

$$\Gamma = \overline {\bigcup_{t \in [0,1]} B_{r(t)}(\gamma(t))}$$

는 다음 두 조건을 만족한다.

\begin{align} (1) \quad \quad \quad & p_1,p_2 \in \Gamma\\ (2)\quad \quad \quad & \Gamma \subset \overline\Omega_0 \end{align}

따라서 $\Gamma$는 compact set이다.

이제 $R \in (0, \textrm{ dist}(\Gamma , \partial \Omega))$ 라고 하자. 그러면 $\Gamma$가 compact set이므로 다음을 만족하는 유한개의 점 $x_1,\cdots , x_N \in \Omega $ 이 존재한다.

\begin{align} \Gamma \subset \bigcup_{i=1}^N B_R(x_i) \end{align}

따라서, ball에 대한 결과를 $N$번 적용하면 다음을 얻는다.

$$\sup_{\Omega_0} u \leq 3^{nN} \inf_{\Omega_0}u$$

이때 $N$은 $u$ 와는 독립적으로, 오직 $\Omega$와 $\Omega_0$에만 의존한다.