Hideh's archive

$\Omega \subset \mathbb R^n$는 bounded domain 이라고 하자.그리고 $p \in [2,\infty)$와 그 conjugate exponent $q$ (i.e. $p^{-1} + q^{-1}=1$) 라 두고, $f \in H^{-1,q}(\Omega)$ 라고 하자.이번 포스트에서는 아래와 같이 정의된 방정식에 대해 다루고자 한다.\begin{align*}\begin{cases}-\nabla \cdot (|\nabla u|^{p-2}\nabla u ) =f & in \;\Omega\\u=0&on\;\partial\Omega\end{cases}\end{align*}Dual space of $H^{1,p}$함수공간 $H^{1,p}(\Omega)$의 dual space 를 $H^{..

앞 포스트에서는 우리가 원하는 문제를, 어떤 functional의 극점을 찾는 문제로 바꿀 수 있음을 이야기했다.여기에서는 fuctional이 하한을 가지고 (bounded from below) 그 최솟값을 주는 극점이 존재(to attain its infimum)할 충분조건을 제시하고자 한다. Thm1.1 : Lower Bounded Functional has minimizer$M$이 Topological Hausdorff space 이고 $E : M \rightarrow \mathbb R \cup \{+\infty \}$가 다음을 만족하는 functional 이라고 가정하자.$$\text{For any }\alpha \in \mathbb R\text{, the set }K_\alpha = \{ ..

개요 미분방정식을 포함한 함수방정식은, 주어진 함수공간(Banach space를 가정)$V$에서 정의된 어떤 functional $F$ 에 대해 $F(u)=0$ 이라는 방정식을 푸는 것으로 생각할 수 있다. 그런데 방정식 $x^2 + x -4=0$ 를 푸는 것은 $E(x) = \frac 13 x^3 + \frac 12 x - 4x$ 의 극점을 찾는 문제로 바꿀 수 있듯, 우리는 몇몇 특수한 경우, $F(u)=0$ 라는 문제를 $E(u)$ 의 극점을 찾는 문제로 바꿀 수 있다.이를 위해 다음과 같이 total derivative를 일반화한, functional에서의 미분을 정의한다.주어진 함수 $F$에 대해 다음을 만족하는 bounded linear mapping $L$이 존재하면 이를 Frechet de..

[Def] Module $R$ 을 ring이라고 하자. 어떤 abelian group $(M,+)$ 이 다음을 만족하면 left $R$-moduule 이라고 한다. 모든 $r,s \in R$과 $m,n \in M$ 에 대해,$(r+s) m = rm + sm$(rs)m = r(sm)$$r(m+n) = rm + rn$$1_R m = m$ 필드 $F$ 에 대해 정의된 벡터스페이스 $V$ 를 생각하면 유사하다는 것을 알 수 있다. 벡터공간에서 스칼라를 Field가 아닌 Ring으로 일반화한 버전으로 생각하자. [Def] Submodule $(M,+)$의 subgroup $(N, +)$ 가 다음을 만족하면 $M$의 submodule 이라고 한다. $rn \in N$ for all $r\in R..

정리 open connected set $\Omega$에서 정의된 $L$이 locally uniformly elliptic이고 함수 $u \in C^2(\Omega)$가 $Lu \geq 0$ 을 만족한다고 하자. 그리고 $c$와 $u$ 가 아래 두 조건 중 하나를 만족한다고 가정하자. $c=0$, $u$가 $\Omega$에서 최댓값을 가짐 $c\leq 0$, $c/\lambda$ 가 bounded이고 $u$가 $\Omega$에서 non-negative인 최댓값을 가짐 그러면 $u$는 상수함수이다. 증명 결론을 부정해서, 위 조건 중 하나를 만족하는 $u$가 상수함수가 아니라고 하자. 가정에 의해 $M = \sup_\Omega u$ 가..

Interior shpere conditiondomain $\Omega$가 점 $x_0 \in \partial \Omega$ 에 대해 다음 조건을 만족한다고 하자.$x_0 \in \partial B$를 만족하는 ball $B \subset \Omega$가 존재한다.이때, $\Omega$가 $x_0$에서 interior shpere condition 을 만족한다고 표현한다.Hopf lemmaopen bounded connected domain $\Omega$ 와 점 $x_0 \in \partial \Omega$가 다음 조건을 만족한다고 하자.$u$는 $x_0$에서 연속$\Omega$는 $x_0$에서 interior shpere condition 을 만족모든 $x\in \Omega$에 대해 $u(x_0) >..

타원형 미분연산자 $L$이 bounded domain $\Omega$에서 elliptic이면서 $c=0$이고, 또한 아래 조건을 만족한다고 하자. $$\dfrac{|b^i(x)|}{\lambda (x)} 만약 함수 $u \in C^2(\Omega)\cap C^0(\bar \Omega)$가 $Lu \geq 0$ 를 만족하면, 이 함수의 최댓값은 $\partial \Omega$에서 얻어진다. 즉, 다음이 성립한다.$$\sup_\Omega u = \sup_{\partial \Omega } u$$(반대로, $Lu\leq 0$ 인 함수들에 대해서는 $\inf$에 대해 동일한 식이 성립한다.)proofCase 1. 모든 점에서 $Lu > 0$ 인 경우 주어진 조건에서 $\bar \Omega$ 가 co..

(모든 식은 특별한 언급이 없는 한 Einstein notation을 따른다.)Definition점 $x = (x_1, \cdots, x_n) \in \Omega$와 $u\in C^2(\Omega)$ 를 생각하자. 다음과 같이 정의된 differential operator$$L u := a^{ij}(x) D_{ij} u + b^i(x) D_i (x) u + c(x) u , \quad a^{ij} = a^{ji}$$에서 행렬 $[a^{ij}(x)]$가 positive definited 일때, 점 $x\in \Omega$에서 연산자 $L$이 elliptic ($L$ is elliptic at a point $x\in \Omega$) 이라고 한다.[Remark] 행렬 $[a^{ij}(x)]$가 positive..

함수 $u$가 domain $\Omega$에서 정의된 harmonic function이라면, 임의의 compact subset $\Omega^\prime$에서 다음이 성립한다.$$\sup_{\Omega'} |D^\alpha u| \leq \left( \dfrac{n|\alpha |}d\right )^{|\alpha |} \sup_\Omega |u|$$여기에서 $d = \textrm{dist}(\Omega^\prime, \partial \Omega)$ 이다증명$|\alpha|=1$양 변을 미분하고 divergence thm을 적용하면 다음과 같다.\begin{align*} Du (x) &= \dfrac 1{w_nR^n} \int_{B(x;R)} Du(y) dy\\ &=\dfrac 1{w_nR^n} \int..

open bounded set $\Omega$에서 정의된 harmonic function들의 monotone increasing sequence ${u_n}$를 생각하자. 만약 어떤 점 $y \in \Omega$에 대해 수열 $\{u_n(y)\}$가 bounded라면 함수열 $\{u_n\}$은 임의의 bounded subdomain $\Omega^\prime \subset\subset \Omega$ 에서 어떤 harmomic function으로 균등수렴한다.- 증명 수열 $\{u_n\}$은 수렴하므로 임의의 $\epsilon$에 대해 다음을 만족하는 적당한 $N$이 존재한다.$$ m \geq n >N \Rightarrow |u_m(y)-u_n(y)|그런데 $\{u_n\}$은 monotone increa..