Convergence Theorem for Harmonic function(1)

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open domain $\Omega$에서 정의된 함수 $u \in C^2(\Omega)$ 가 harmonic일 필요충분조건은 임의의 ball $B = B_r(y) \subset \subset \Omega$ 에 대해 다음이 성립하는 것이다.

$$
u(y) = \dfrac{1}{nw_n r^{n-1}} \int_{\partial B} u ds= \dfrac{1}{w_n r^{n}} \int_{B} u dx
$$

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-증명

• $(\Rightarrow)$
  이 경우는 이미 증명하였다.
• 증명$(\Leftarrow)$

  점 $y$는 고정되어 있다고 하자. 가정에 의해 다음과 같이 정의된 함수

  $$\phi(r) = \dfrac 1{nw_n r^{n-1}}\int_{\partial B_r(y)} u(z) dz$$

  는 $y$와는 상관없이 항상 $r$에 대한 상수함수가 되어야 한다. 따라서 이 식을 미분하면 0이 되어야 하므로

  \begin{align} \dfrac d{dr} \phi(r) &= \dfrac d{dr} \left[ \dfrac 1{nw_n r^{n-1}} \int_{\partial B_r(y)} u(z) dz \right] \\&= \dfrac d{dr} \left[ \dfrac 1{nw_n r^{n-1}} \int_{\partial B_1(0)} u(y+sr) r^{n-1}ds \right] \\&=\dfrac d{dr} \left[ \dfrac 1{nw_n } \int_{\partial B_1(0)} u(y+sr) ds \right] \\&= \dfrac 1{nw_n } \int_{\partial B_1(0)} s \cdot (\nabla u)(y+sr) ds \\&= \dfrac 1{nw_n } \int_{\partial B_r(y)} \dfrac{z-y}{r} \cdot (\nabla u)(z) \dfrac 1{r^{n-1}} dz \\&= \dfrac 1{nw_n r^{n-1}} \int_{\partial B_r(y)} \nu \cdot (\nabla u)(z) dz \\&= \dfrac 1{nw_n r^{n-1}} \int_{ B_r(y)} \Delta u(x) dx \end{align}

  에서

  $$\dfrac 1{nw_n r^{n-1}} \int_{ B_r(y)} \Delta u(x) dx = 0$$

  을 얻는다. 이때 $u \in C^2$ 이므로 $r \rightarrow 0$의 극한을 취할 때 좌변이 $\frac rn \Delta u$로 수렴하고, 따라서 $\Delta u =0$ 을 얻는다.