Properties of Harmonic function - Maximal Principle

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bounded domain $\Omega$에서 정의된 함수 $u \in C^2(\Omega) \cap C(\bar \Omega)$ 가 $\Delta u \geq 0$ 를 만족하면 다음이 성립한다.
$$
\sup_\Omega u = \sup _{\partial \Omega}u\\\inf_\Omega u = \inf_{\partial \Omega}u
$$

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-증명

$\Omega \subset \mathbb R^n$ 가 open bounded 이므로 precompact이다. 그런데 함수 $u$는 compact set인 $\bar \Omega$에서 연속이므로 $\bar \Omega$의 어딘가에서는 최댓값 $M = \max_{\bar \Omega} u$을 가진다.

점 $x_0 \in \bar \Omega$ 가 $M = u(x_0)$를 만족한다고 하자.

$x_0 \in \Omega$ 인 경우

$u$는 $C^2(\Omega)$이므로, strong maximal principle에 의해 $\Omega$에서 상수함수가 된다.
그런데 $u$는 $\bar \Omega$에서 연속이므로 $\bar \Omega$에서도 상수함수이다.
따라서 상수로써 두 값 $u\vert_\Omega , u\vert_{\partial \Omega}$ 는 같으므로 $\sup_\Omega u = \sup _{\partial \Omega}u$ 가 성립한다.

$x_0 \not \in \Omega$ 인 경우

정의로부터 $x_n \rightarrow x_0$을 만족하는 수열 ${x_n} \subset \Omega$가 존재한다.
이때 $u$는 연속이므로 $u(x_n) \rightarrow M$가 성립하고 따라서 $\sup_\Omega u =M$ 이다.
그런데 이 경우 자명하게 $x_0 \in \partial \Omega$이므로 $\sup_{\partial \Omega} u = u(x_0) = M$ 이다. 따라서 두 값이 같다.