Properties of Harmonic function - uniqueness

bounded open connected set $\Omega$에서 정의된 두 함수 $u,v \in C^2(\Omega) \cap C(\bar \Omega)$ 가 $\Omega$에서 $\Delta u = \Delta v$이고 $\partial \Omega$에서 $u=v$라고 하자. 그러면 $\Omega$에서 $u=v$가 된다.

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새로운 함수 $w = u-v$를 정의하자. 그러면 $\Omega$에서 $\Delta w =0$, 즉 harmoniuc function이 된다. 그런데 경계 $\partial \Omega$에서 $w=0$ 이므로, maximal principle에 의해 $\sup_\Omega w = \inf_\Omega w =0$ 를 얻는다.

따라서 $\Omega$에서 $w \equiv 0$이 성립하며, 이는 두 함수 $u,v$가 같음을 의미한다.