Hideh's archive

$\Omega \subset \mathbb R^n$는 bounded domain 이라고 하자.그리고 $p \in [2,\infty)$와 그 conjugate exponent $q$ (i.e. $p^{-1} + q^{-1}=1$) 라 두고, $f \in H^{-1,q}(\Omega)$ 라고 하자.이번 포스트에서는 아래와 같이 정의된 방정식에 대해 다루고자 한다.\begin{align*}\begin{cases}-\nabla \cdot (|\nabla u|^{p-2}\nabla u ) =f & in \;\Omega\\u=0&on\;\partial\Omega\end{cases}\end{align*}Dual space of $H^{1,p}$함수공간 $H^{1,p}(\Omega)$의 dual space 를 $H^{..

앞 포스트에서는 우리가 원하는 문제를, 어떤 functional의 극점을 찾는 문제로 바꿀 수 있음을 이야기했다.여기에서는 fuctional이 하한을 가지고 (bounded from below) 그 최솟값을 주는 극점이 존재(to attain its infimum)할 충분조건을 제시하고자 한다. Thm1.1 : Lower Bounded Functional has minimizer$M$이 Topological Hausdorff space 이고 $E : M \rightarrow \mathbb R \cup \{+\infty \}$가 다음을 만족하는 functional 이라고 가정하자.$$\text{For any }\alpha \in \mathbb R\text{, the set }K_\alpha = \{ ..

개요 미분방정식을 포함한 함수방정식은, 주어진 함수공간(Banach space를 가정)$V$에서 정의된 어떤 functional $F$ 에 대해 $F(u)=0$ 이라는 방정식을 푸는 것으로 생각할 수 있다. 그런데 방정식 $x^2 + x -4=0$ 를 푸는 것은 $E(x) = \frac 13 x^3 + \frac 12 x - 4x$ 의 극점을 찾는 문제로 바꿀 수 있듯, 우리는 몇몇 특수한 경우, $F(u)=0$ 라는 문제를 $E(u)$ 의 극점을 찾는 문제로 바꿀 수 있다.이를 위해 다음과 같이 total derivative를 일반화한, functional에서의 미분을 정의한다.주어진 함수 $F$에 대해 다음을 만족하는 bounded linear mapping $L$이 존재하면 이를 Frechet de..