Convergence Theorem for Harmonic function(2)

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open, bounded, connected domain $\Omega$에서 정의된 harmonic function의 수열이 $u$로 균등수렴(uniformly converge)한다면 함수 $u$ 역시 $\Omega$에서 harmonic function이다.

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-증명

$u_n$가 $\Omega$에서 함수 $u$로 균등수렴한다고 하자. 그러면 임의의 $\epsilon>0$에 대해 다음을 만족하는 충분히 큰 $N$이 존재한다.

$$n>N \Rightarrow \sup_{\Omega} |u_n - u| <\epsilon $$

그러면 $x\in \Omega$를 중심으로 하는 임의의 ball $B \subset \subset \Omega$ 에 대해 다음이 성립하게 된다.

$$ \begin{align*} \left|\dfrac 1 {|\partial B|}\int_{\partial B} u(y) dy-u(x) \right|& \leq \dfrac 1 {|\partial B|}\int_{\partial B} |u_n(y) - u(y) |dy\\&\quad+|u_n(x) - u(x)|\\&\quad+ \left|\dfrac 1 {|\partial B|}\int_{\partial B} u_n(y) dy-u_n(x) \right| \\&<\epsilon + \epsilon +0 \\&=2\epsilon \end{align*} $$

여기에서 $\epsilon$은 임의이므로,

$$ \dfrac 1 {|\partial B|}\int_{\partial B} u(y) dy=u(x) $$

가 성립한다.

이는 $u$가 임의의 ball $B\subset\subset \Omega$ 에서 mean value property를 만족함을 의미하므로, $u$ 역시 $\Omega$에서 harmonic이다.