Properties of Harmonic function - mean value properties

함수 $u \in C^2(\Omega)$ 가 $\Omega$에서 $-\Delta u =0\;(\leq0,\geq0)$ 을 만족할 때 다음이 성립한다.

$$\begin{align} u(y) &=(\leq,\geq) \dfrac{1}{nw_n R^{n-1}} \int_{\partial B(y;R)} u ds\\&=(\leq,\geq)\dfrac{1}{w_nR^n}\int_{B(y;R) } u dx \end{align}$$

(이때 $w_n$은 $n$차원 단위구의 부피이다.)

증명

먼저, $0<\rho<R$, $B_\rho := B(y;\rho)$ 로 두면 다음이 성립한다.

$$\int_{\partial B_\rho} \dfrac{\partial u}{\partial v} ds =\int_{B_\rho}\Delta u ds =(\geq,\leq) 0$$

이제 $x\in \partial B_\rho$에 대해 $r = |x-y|$, $w=(x-y)/r$ 로 두면 아래와 같이 적을 수 있다.

$$\begin{align*} 0&=(\leq,\geq) \int_{\partial B_\rho} \dfrac{\partial u}{\partial v} ds \\&=\int_{\partial B_\rho} \dfrac{\partial u}{\partial r}(y+\rho w) ds \\&= \rho^{n-1}\int_{|w|=1} \dfrac{\partial u}{\partial r}(y+\rho w) dw\\&=\rho^{n-1} \dfrac{\partial}{\partial \rho} \int u(y+\rho w) dw\\&=\rho^{1-n}\dfrac{\partial}{\partial \rho} \left[\rho^{n-1}\int_{\partial B_\rho} u ds\right] \end{align*}$$

따라서 $0<\rho<R$에서 $\rho^{1-n} \int_{\partial B_\rho} u ds =(\leq,\geq) R^{1-n} \int_{\partial B_R} u ds$가 성립한다. 그런데 $u$가 연속이므로

$$\begin{align*} \lim_{\rho \rightarrow 0} \rho^{1-n}\int_{\partial B_\rho} u ds&=nw_n\lim_{\rho \rightarrow 0} \dfrac 1 {\rho^{n-1}nw_n}\int_{\partial B_\rho} u ds\\&=nw_n u(y) \end{align*}$$

가 성립한다. 따라서 다음이 성립한다.

$$\begin{align} nw_n u(y) =(\leq,\geq) \rho^{1-n}\int_{\partial B_\rho} u ds\end{align}$$

(3)에서 $\rho = R$을 대입하면 (1) 을 얻는다.

$$u(y) =(\leq,\geq) \dfrac 1{nw_n R^{n-1}}\int_{\partial B_R} u ds$$

(3)에서 적분을 하면 다음과 같이 (2)를 얻는다.

$$\begin{align*} \int_{ B_R} u ds&=\int_0^R \left(\int_{\partial B_\rho} u ds \right)d\rho\\&=(\geq,\leq) \int_0^R nw_n u(y)\rho^{n-1} d\rho\\&=(\geq,\leq)w_nR^n u(y)\\u(y)&=(\leq,\geq) \dfrac 1 {w_nR^n}\int_{B_R} uds \end{align*}$$