Weak Maximum Principle

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타원형 미분연산자 $L$이 bounded domain $\Omega$에서 elliptic이면서 $c=0$이고, 또한 아래 조건을 만족한다고 하자.

$$\dfrac{|b^i(x)|}{\lambda (x)} < \infty$$

만약 함수 $u \in C^2(\Omega)\cap C^0(\bar \Omega)$가 $Lu \geq 0$ 를 만족하면, 이 함수의 최댓값은 $\partial \Omega$에서 얻어진다. 즉, 다음이 성립한다.

$$\sup_\Omega u = \sup_{\partial \Omega } u$$

(반대로, $Lu\leq 0$ 인 함수들에 대해서는 $\inf$에 대해 동일한 식이 성립한다.)

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proof

• Case 1. 모든 점에서 $Lu > 0$ 인 경우

  주어진 조건에서 $\bar \Omega$ 가 compact이고 $u$는 연속이므로 $u$가 $\Omega$의 내부에서 최댓값을 가질 수 없음을 보이면 충분하다.

  
  

  결론을 부정하여, 함수 $u$가 내부 $x_0 \in \Omega$에서 최댓값을 가지게 된다고 가정하자.

  그러면 $u \in C^2(\Omega)$ 으로부터 다음을 얻는다.

  \begin{align*} Du(x_0) &= 0\\ D_{ij} u(x_0) &\leq 0 \end{align*}

  따라서, $x_0$을 대입하면

  \begin{align*} Lu(x_0) &= a^{ij} D_{ij}(x_0) + b^i D_i u(x_0) \\&= a^{ij} D_{ij}(x_0) \\&\leq 0 \end{align*}

  임을 알 수 있다. 그런데 이 결과는 모든 점에서 $Lu >0$이라는 가정에 모순이므로 이러한 $x_0\in \Omega$ 는 존재하지 않는다.



• Case 2. 어떤 점 $x^* \in \Omega$ 에서 $Lu(x^*)=0$ 인 경우. 즉, $Lu \geq 0$인 경우

  먼저 아래와 같이 상수 $b_0$ 를 정의하자.

  $$b_0 = \sup_{\Omega} \dfrac {|b^i(x)|}{\lambda(x)}$$

  다음으로, $L$이 elliptic 이므로 행렬 $[a^{ij}(x)]$ 은 임의의 벡터 $\xi \in \mathbb R^n \setminus \{0\}$에 대해 다음을 만족한다.

  $$\lambda(x) |\xi|^2 \leq a^{ij} \xi_i \xi_j = \xi^T [a^{ij}(x)] \xi$$

  따라서 $\xi$ 에 기저벡터를 넣으면 $[a^{ij}]$의 대각성분들은 $\lambda$보다 크다는 것을 알 수 있다. 즉, $a^{11} \geq \lambda$ 이다.

  이제 $\gamma \geq b_0$ 를 만족하는 $\gamma$를 생각하자. 그러면

  \begin{align*} L\exp(\gamma x_1) &= (\gamma^2 a^{11} + \gamma b^1) \exp(\gamma x_1) \\&\geq (\gamma^2 - \gamma b_0) \lambda \exp (\gamma x_1) \\&> 0 \end{align*}

  이 성립한다. 따라서, 양수 $\epsilon>0$에 대해 $u_\epsilon := u + \epsilon \exp(\gamma x_1)$ 로 두면 $Lu_\epsilon >0$ 이 성립한다. 앞서 증명한 Case 1의 결과를 사용하면 다음을 얻는다.

  $$\sup_\Omega u_\epsilon = \sup_{\partial \Omega} u_\epsilon$$

  극한 $\epsilon \rightarrow 0$ 을 취하면 $u_\epsilon \rightarrow u$ 이므로 다음을 얻는다.

  $$\sup_\Omega u = \sup_{\partial \Omega} u$$

따라서, 주어진 조건을 만족하는 함수 $u$는

$$\sup_\Omega u = \sup_{\partial \Omega} u$$

을 만족한다.

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Corollary

타원형 미분연산자 $L$이 bounded domain $\Omega$에서 elliptic이면서 $c\leq 0$이고, 또한 아래 조건을 만족한다고 하자.

$$\dfrac{|b^i(x)|}{\lambda (x)} < \infty$$

만약 함수 $u \in C^0(\bar \Omega)$가 $Lu \geq 0$ 를 만족하면, $u^+ := \max(0,u)$ 로 둘 때 다음이 성립한다.

$$\sup_\Omega u \leq \sup_{\partial \Omega} u^+$$

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proof

아래와 같이 새로운 연산자 $L_0$을 정의하자.

$$L_0 u := a^{ij} D_{ij} u + b^{i} D_i u$$

그리고 $\Omega^+ := \{u>0 \} \cap \Omega$ 라고 표기하자.

그러면, $\Omega^+$ 에서 $L_0 = Lu - cu \geq 0$ 가 성립하므로 위 정리부터 다음을 얻는다.

$$\sup_{\Omega^+} = \sup_{\Omega^+} u$$

정의로부터 $\sup_\Omega u$는 $\sup_{\Omega^+} u$ 와 같고, 또한 $\partial \Omega^+$ 에서는 $u = u^+$ 이므로 $\sup_{\partial \Omega^+} u = \sup_{\partial \Omega^+} u^+$ 이다. 종합하면 다음과 같다.

$$\sup_\Omega u = \sup_{\partial \Omega^+} u ^+$$

이때, $\partial \Omega^+ \cap \Omega$ 에서 $u$는 $0$ 이 되고, $\partial \Omega^+ \cap \partial \Omega \subset \partial \Omega$ 임을 이용하면 다음과 같이 관계식을 얻는다.

\begin{align*} \sup_{\partial \Omega^+} &= \max \left( \sup_{\partial \Omega^+ \cap \partial \Omega} u^+ , \sup_{\partial \Omega^+ \cap \Omega} u^+ \right)\\ \\&\leq \max\left(\sup_{\partial \Omega} u^+ , 0 \right) \\&= \sup_{\partial \Omega} u^+ \end{align*}

따라서,

$$\sup_{\Omega^+} = \sup_{\Omega^+} u \leq \sup_{\partial \Omega} u^+$$

가 성립한다.

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Appendix

• 1. $Lu = 0$ 인 경우에 대한 논의

  위의 corollary 를 $\sup$ 와 $\inf$에 대해 각각 적용하고 종합하면 다음을 얻는다.

  $$\sup_{\Omega} |u| = \sup_{\partial \Omega} |u|$$



• 2. classical Dirichlet problem의 해의 유일성

  다음과 같이 주어진 classical Dirichlet problem는 (존재한다면) 유일한 해를 가진다.

  \begin{cases} Lu = 0 &\Omega\\u=g&\partial \Omega \end{cases}

  
  

  증명은 간단히 할 수 있다. 만약 두 연속함수 $u_1, u_2$ 가 모두 해가 된다면 $w= u_1-u_2$는 다음을 만족한다.

  $$ \begin{cases} Lw = 0 &\Omega\\w=0&\partial \Omega \end{cases} $$

  그러면 $\sup_\Omega |w| = \sup_{\partial \Omega} |w| =0$ 이므로 $w \equiv 0$ 를 얻는다.

  따라서 $u_1 = u_2$이므로 이 방정식의 해는 유일하다.

• 3. boundary condition

  1을 응용하면 다음과 같이 유용한 명제를 얻을 수 잇다.

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  bounded domain $\Omega$에서 정의된 두 함수 $u,v \in C^2(\Omega) \cap C(\bar \Omega)$ 가 경계 $\partial \Omega$에서 $u=v$ 라고 하자. 만약 이들이 $\Omega$ 전체에서 $c\leq 0$을 만족하는 타원형 미분연산자 $L$에 대해 $Lu = Lv$ 을 만족한다면 $\Omega$에서 $u=v$ 이다.
  같은 이유로, $\Omega$ 에서 $-Lu \leq -Lv$ 이고 $\partial \Omega$에서 $u\leq v$ 이면 전체 $\Omega$에서 $u\leq v$이다.

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