Linear Elliptic differential operator

(모든 식은 특별한 언급이 없는 한 Einstein notation을 따른다.)

Definition

점 $x = (x_1, \cdots, x_n) \in \Omega$와 $u\in C^2(\Omega)$ 를 생각하자. 다음과 같이 정의된 differential operator

$$L u := a^{ij}(x) D_{ij} u + b^i(x) D_i (x) u + c(x) u , \quad a^{ij} = a^{ji}$$

에서 행렬 $[a^{ij}(x)]$가 positive definited 일때, 점 $x\in \Omega$에서 연산자 $L$이 elliptic ($L$ is elliptic at a point $x\in \Omega$) 이라고 한다.

• [Remark] 행렬 $[a^{ij}(x)]$가 positive definite 임은 다음을 만족하는 것을 의미한다.

이 행렬의 고윳값 중 최댓값을 $\Lambda (x)$, 최솟값을 $\lambda (x)$로 두면 모든 $\xi \in \mathbb R^n \setminus \{0\}$ 에 대해 다음이 성립한다.

$$0 < \lambda (x) |\xi|^2 \leq a^{ij} \xi_i \xi_j \leq \Gamma (x)|\xi|^2$$

추가적으로 조건이 있는 경우 다음과 같이 정의한다.

1. 모든 $x\in \Omega$에 대해 $0<\lambda(x)$ 이면 $L$이 $\Omega$에서 elliptic이라고 한다.
   ($L$ is elliptic in $\Omega$)
2. 1의 조건에 추가적으로 $0< \lambda_0 < \lambda(x)$를 만족하는 $\lambda_0>0$ 가 존재한다면 $L$이 $\Omega$에서 strictly elliptic 이라고 한다.
   ($L$ is strictly elliptic in $\Omega$)
3. 만약 $\sup_{\Omega} \Lambda / \lambda < \infty$ 라면, $L$ 이 $\Omega$에서 uniformly elliptic 이라고 한다.
   ($L$ is uniformly elliptic in $\Omega$)

examples

1. Laplacian $\Delta$의 경우 $\Lambda = \lambda =1$이므로 strictly elliptic 이면서 uniformly ellpitic이다.
2. $\Omega = \{(x_1,x_2) : x_2>0 \}$ 에서 $L = D_{11} + x_1 D_{22}$ 로 두면, $L$ 은 전체 $\Omega$에서 elliptic이지만 strictly elliptic은 아니다.
   또한, $\Lambda /\lambda = \max(1/x_1, x_1)$ 이므로 uniformly elliptic 역시 아니다.

Assumption

이 노트에서, 공통적으로 다음을 만족하는 상수 $K$가 존재한다고 가정한다.

$$\dfrac {|b^i (x)|}{\lambda (x)} \leq K < \infty \quad \forall x \in \Omega$$

이 가정을 두는 이유는 다음과 같다.

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elliptic linear operator $L$ 의 계수 $a^{ij}, b^i$ 가 모두 $\Omega$에서 연속이면, 임의의 bounded subdomation $\Omega_0 \subset\subset \Omega$에 대해, $L$은 $\Omega_0$에서 uniformly elliptic 이면서 Assumption을 만족한다.

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- 증명

$a^{ij}$ 가 연속이므로 $\lambda$와 $\Lambda$ 역시 연속이다. 따라서, $1/\lambda$가 연속임을 보이면 충분하다.

그런데 $\Omega_0 \subset \subset \Omega$이므로 $\lambda>0$ 이고, $\Omega_0$는 comapct이므로 $\lambda_0 = \min_{\bar \Omega_0} \lambda >0$ 가 존재한다. 따라서 $1/\lambda$는 연속이 된다.