정리
open connected set $\Omega$에서 정의된 $L$이 locally uniformly elliptic이고 함수 $u \in C^2(\Omega)$가 $Lu \geq 0$ 을 만족한다고 하자.
그리고 $c$와 $u$ 가 아래 두 조건 중 하나를 만족한다고 가정하자.
- $c=0$, $u$가 $\Omega$에서 최댓값을 가짐
- $c\leq 0$, $c/\lambda$ 가 bounded이고 $u$가 $\Omega$에서 non-negative인 최댓값을 가짐
그러면 $u$는 상수함수이다.
증명
결론을 부정해서, 위 조건 중 하나를 만족하는 $u$가 상수함수가 아니라고 하자.
가정에 의해 $M = \sup_\Omega u$ 가 존재한다. 이제 $\Omega^- := \{ u < M \} \cap \Omega$ 로 두면 $\Omega^- \subset \Omega$ 이고 $\partial \Omega^- \cap \Omega \not = \emptyset$ 임을 알 수 있다.
따라서 $\text{dist}(x_0, \partial \Omega^-) < \text{dist}(x_0 , \partial \Omega)$ 를 만족하도록 $x_0 \in \Omega^-$ 를 선택할 수 있게 된다. 이때
$$B := B_{\text{dist}(x_0, \partial \Omega^-)} (x_0)$$
로 두면 $B$는 다음 두 조건을 만족한다. $$B \subset \Omega^-$$
$$\exists y \in \partial B\;s.t.\; u(y)=M$$
그런데 점 $y$ 에서 $u$가 최댓값 $M$ 이 된다는 것은, $u \in C^2$ 라는 사실로부터 $Du(y)=0$ 이어야 함을 의미한다.
다른 한편, $u(y) = M$ 은 임의의 $x\in B$에 대해 $u(x) < u(y)$ 임을 의미하므로, 위 조건 중 하나를 만족하면 Hopf lemma를 적용할 수 있다. 하지만 Hopf lemma를 적용하면 $Du(y) \not = 0$ 가 되어야 함을 알 수 있다.
이는 모순이 되므로 $u$는 상수함수이다.
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