2. Boundedness for a Single Solution (bounded domain)

여기에서는 $\Omega$가 bounded domain 일때 단일 해의 $L^\infty$ - boundedness 에 대해 다룬다.

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Cor 2

• bounded domain $\Omega \in \mathbb R^2$ 와 상수 $1<p\leq \infty$ 에 대해 $V\in L^p(\Omega)$ , $e^u \in L^{p'}(\Omega)$ 이라고 하자.
  그러면 방정식
  $$\begin{cases} -\Delta u = Ve^u & \text{in } \Omega \\ u = 0 & \text{on } \partial \Omega\end{cases}$$
  의 해 $u$는 $u \in L^\infty(\Omega)$ 가 성립한다.

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pf

먼저 Cor1 에 의해, 모든 상수 $k>0$에 대해 $e^{ku} \in L^1$ 가 성립한다. 다시말해, $r < \infty$ 라면 $e^u \in L^r$ 이다.

• case 1 : $p < \infty$
  임의의 $\delta$ 에 대해 다음을 만족하는 $\theta \in [0,1]$ 와 $r$ 이 존재한다.
  $$\frac{1}{p - \delta} = \frac \theta p + \frac{1-\theta}r$$
  이러한 $\theta$ 와 $r$ 에 대해 Holder's inequality를 적용하면 다음이 성립한다.
  $$|Ve^u|_{L^{p - \delta}} \leq |V|_{L^p}^\theta |e^u|_{L^r} ^{1-\theta}$$
  따라서 임의의 $\delta$에 대해 $Ve^u \in L^{p-\delta}$ 를 얻는다.
• case 2 : $p = \infty$
  이 경우, 임의의 $r$ 에 대해 $Ve^u \in L^{r}$ 가 성립한다.

따라서, 어떤 경우에도 적당한 $\delta > 0$ 가 존재해서 $Ve^u \in L^{p- \delta}$ 가 된다.

이때, $u$는 Dirichlet Condition을 만족하므로 $W^{2,p}$-estimate 에 의해 다음을 얻는다.

$$|u|_{W_0^{2,p-\delta}} \leq C(p) |Ve^u|_{L^{p-\delta}}$$

따라서 $u \in W_0^{2,p-\delta}(\Omega)$ 이다.

그런데 Sobolev Embedding에 의해, 2차원에서 $W_0^{2,p-\delta}(\Omega) \subset C^0(\Omega)$ 가 성립하므로 ($0< 2- 2/(p-\delta)$ , $p-\delta > 1$ ) $u$ 는 compact set $\bar \Omega$ 에서 연속함수이다. 따라서 $u \in L^\infty(\Omega)$를 얻는다.

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이 정리로부터 다음은 쉽게 얻을 수 있다.

Remark 4

• 어떤 $1<q$에 대해 $f \in L^q(\Omega)$ 이고 경계조건 $g \in L^\infty(\partial \Omega)$ 에 대해, 방정식
  $$\begin{cases} -\Delta u &= Ve^u + f & \text{in } \Omega \\ u &=g &\text{on } \partial \Omega\end{cases}$$
  의 해 $u$는 $u \in L^\infty( \Omega)$ 를 만족한다.

증명은 다음과 같다. 먼저 다음과 같이 $u = w+ v$ 를 분해한다.

$$\begin{cases} -\Delta w &= f &\text{ in } \Omega \\ w &=g &\text{ on } \partial \Omega\end{cases}, \quad \begin{cases} -\Delta v &= (V e^w ) e^v &\text{ in } \Omega \\ v &= 0 &\text{ on } &\partial \Omega\end{cases}$$

그러면 $v$는 Cor2 에 의해 $v \in L^\infty$ 를 얻는다. 남은 $w$에 대해서는, $W^{2,p}$ estimate 를 적용하면 다음을 얻는다. ($q>1$)
$$|w|_{W^{2,q}} \leq C(p,q) W^{2,q}(\Omega) \subset C^0(\Omega) \subset L^{\infty}(\Omega)$$
따라서 $w$ 역시 $L^\infty$ 임을 얻는다.

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위의 정리는 특정 조건을 만족하는 $\delta$ 에 대해 $p- \delta >1$ 임을 요구하기 때문에, $p=1$ 인 경우는 커버하지 않는다. 실제로, $p=1$ 인 경우에 대해서는, 임의의 $a\ \in (0,1)$ 에 대해 다음과 같은 반례가 존재한다.

$$\begin{cases}
u &= - a \log (1 - \log r ) |\\ V &= -ar^{-2}(1 - \log r )^{a-2}
\end{cases}, \quad \Omega = B_1 \quad r := |x|$$

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마지막으로, subsolution 에 대해서는 다음이 성립한다.

Cor 

• 어떤 $1 < p \leq \infty$ 에 대해 $V \in L^p$ , $e^u \in L^{p'}$ 일 때,
  $$\begin{cases} - \Delta u & \leq Ve^u &\text{ in } \Omega \\ u & \leq 0 & \text{ on } \partial \Omega\end{cases}$$
  의 해 $u$ 는 $u^+ \in L^\infty(\Omega)$ 를 만족한다.

증명은 다음과 같다. 먼저 $w$를 아래 방정식의 해로 두자.
$$\begin{cases} - \Delta w & = Ve^u &\text{ in } \Omega \\ w &= 0 & \text{ on } \partial \Omega\end{cases}$$

그러면 weak maximum principle 에 의해서 $u \leq w \text{ in } \Omega$ 를 얻는다.
따라서 $|u^+| \leq w \in L^\infty (\Omega)$ 로부터 원하는 결과를 얻는다.