1. A basic inequality

$L^p$ norm을 제어하기 위한 유용한 부등식을 먼저 증명하고 시작한다.

이 논문에서 $\Omega$는 대부분의 경우 bounded 이고, 충분한 boundary regularity 가 있다고 가정한다.

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Assume that $\Omega \subset \mathbb R^2$ is a bounded domain.

Let $u$ be a solution of the equation

\begin{align*} - \Delta u &= f(x ) &\text{in } \Omega\\ u &= 0 &\text{on } \partial \Omega \end{align*}

with $f \in L^1 (\Omega)$. Then

Theorem 1.

For every $\delta \in (0,4\pi)$ we have

$$\int_\Omega \exp \left[ \dfrac{(4\pi - \delta) |u(x)|}{||f||_{L^1}} \right] dx \leq \dfrac{4\pi^2}{\delta} (\text{diam} \Omega)^2$$

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proof

먼저 $R = \text{diam} \Omega$ 라고 두고 $B_R$을 $\Omega$를 덮도록 적당히 옮기자. 그리고 $f$는 $\Omega$ 밖에선 0이 되도록 확장한다.
이제 $x\in \mathbb R^2$ 에 대해
$$\bar u(x) = \int_{B_R} \dfrac 1{2\pi} \log \left( \dfrac{2R}{|x-y|} \right) |f(y)| dy$$
로 정의하면 다음이 성립한다.
$$-\Delta \bar u = |f|$$
이때 $\bar u \geq 0$임은 쉽게 알 수 있다. 또한, $\partial \Omega$에서는 $\bar u \pm u \geq 0$ 이고 전체 $\Omega$에서 $-\Delta (\bar u \pm u ) \geq 0$ 이므로 weak maximum principle 에 의해 $|u| \leq \bar u$ 를 얻는다.

따라서, $t \mapsto \exp t$ 가 convex임을 이용하여 Jensen's inequality 를 적용하면 다음을 얻는다.

\begin{align*} \int_\Omega \exp \left[ \dfrac{(4\pi - \delta) |u(x)|}{||f||_{L^1}} \right] &\leq \int_{B_R} \exp \left[ \dfrac{(4\pi - \delta) |\bar u(x)|}{||f||_{L^1}} \right] \\ &\leq \int_{B_R} dx \int_{B_R} \left( \dfrac{2R}{|x-y|} \right)^{2-\frac \delta{2\pi}} \dfrac {|f(y)|}{||f||_{L^1}} dy\\ & = \int_{B_R} \dfrac {|f(y)|}{||f||_{L^1}} \int_{B_R}\left( \dfrac{2R}{|x-y|} \right)^{2-\frac \delta{2\pi}} dx \;dy\\ & \leq \int_{B_R} \dfrac {|f(y)|}{||f||_{L^1}} \int_{0}^{2R} \left( \dfrac{2R}{r} \right)^{2-\frac \delta{2\pi}} 2\pi r dr \;dy\\ & \leq \dfrac{ 4\pi^2 }{\delta} (\text{diam} \Omega)^2 \end{align*}

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Corolloary 1

If $u \in L^1(\Omega)$ and $\Delta u \in L^1(\Omega)$ then for every constant $k>0$, $\exp{k|u|} \in L^1(\Omega)$.

• 이 정리에 따라서, 위의 조건을 만족하는 $u$는, 임의의 $k>0$ 에 대해 $e^u \in L^k$ , $u^+ \in L^k$ 가 성립한다.

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proof

먼저 $\epsilon \in (0, 1/k)$ 라고 하고, $f := -\Delta u$ 라고 하자.

수열 $f_n$ 을 $f_n := min(f , n)$ 으로 두면 $f_n \rightarrow f$ in $L^1$ 이고 $f_n \in L^\infty$ 이다.

 

따라서, 충분히 큰 $n$을 골라주면, $f$를 $||f_1 ||_{L^1} < \epsilon$, $f_2 \in L^\infty$ 가 되도록 하는 $f$ 의 split $f = f_1 + f_2$ 를 생각할 수 있다.

그러면 다음을 만족하도록 $u$ 의 split  $u = u_1 + u_2$ 을 생각할 수 있다.

 

\begin{align*} -\Delta u_i &= f_i&\text{in } \Omega\\ u_i &= 0 & \text{on } \partial \Omega \end{align*}

(각 $u_i$들의 존재성은 $\partial \Omega$의 regularity로부터 보장된다. )

 

이제 Thm1 에 $\delta = 4\pi - 1$ 을 넣으면 다음을 얻는다.
$$\int_\Omega \exp[k|u_1(x)|] dx < \int_\Omega \exp \left[ \dfrac{|u_1(x)| }{||f_1||_{L^1}} \right] dx < \infty$$

 

또한 $u_2$ 에 대해서는 다음의 estimate 가 성립한다. (Trudinger chap3 에 있음)
$$\sup_\Omega |u_2| \leq \sup_{\partial \Omega} |u_2| + C(\Omega) \sup_{\Omega} |f_2|$$

따라서, $||u_2 ||_{L^\infty} \leq 0 + C ||f_2||_{L^\infty}$ 이므로 $u_2 \in L^\infty$ 이다.

즉, $\exp[k|u|] \leq \exp[k|u_1|] \cdot \exp[k|u_2|] < \infty$ 가 성립하게 되므로 $\exp[k|u|] \in L^1$ 을 얻는다.